Interpretación, que se le da a la Continuidad en funciones de Variable Compleja

Las funciones continuas y las complejas son consideradas elementos que vienen dado a traves del conocimiento de las funciones hiperbolicas,trigonometricas y periodicas, las cuales según el material utilizado , son extenciones complejas de seno y coseno.
Por continuidad se entiende que es el trato o uso de del Calculo Integral necesario para la determinar las diferenciaciones, sucesiones y series matematicas y el analisis de sus elementos entre los que se podria mencionar los espacioas metricos y topologicos. Ejemplo
CONTINUIDAD
x
b
bc
a
f(a)
U(a)
U(f(a))
Asi mismo la continuidad se apega a los conceptos de Proximidad y distancia , la logica entonces nos determina que en la continuidad no hay saltos.
En los casos presentados en el material de apoyo con respecto a las funciones de variables complejas , continuas y limites podemos analisar o considerar:
1. La definiciones no exigen condiciones especiales al respecto al punto a , salvo que pertenezca al dominio de la funci´on para que exista f(a).
2. En el concepto se inserta U(a) con D, dominio de la funci´on, para asegurar que para los puntos X considerados exista imagen f(X).
3. En particular, el conjunto U(a) ∩ D nunca es vac´ıo porque por lo menos contiene al punto a
Se gun el teorema que se extrae de esta definiciones debemos tener en cuenta las funciones continuas dadas en los puntos aislados del dominio.

a ∈ Pt. aislado D =⇒ f ∈ C/a
Demostraci´on.
Por definici´on de Pt. aisl:
∀ U(f(a)) ∃ U(a) : U(a) ∩ D = {a}
Luego
∀ X ∈ U(a) ∩ D =⇒
∀ X ∈ {a} =⇒ f(a) ∈ U(f(a))
Recordar que la continuidad que precede al concepto de limite por dos , ya que, dese el punto de vista heuristico el limite es una extension de continuidad , igualmente existen funciones continuas que no poseen limites y se definen como : PUNTOS AISLADOS.
Con respecto a esto la definicion de funciones de variables complejas se reduce a la forma operativa de un plano ejemplo:
z y w.
U(a) = {z : z − a < δ} U(f(a)) = {w : w − f(a) < ǫ} resultando: f ∈ C/a := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {z : z − a < δ} ∩ D =⇒ f(z) − f(a) < ǫ

Aplicacion de los Numeros complejos en la Ingenieria

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la formadonde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas. Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.En electricidad, al utilizar circuitos capacitivos y/o inductivos, la corriente y la tensión se "desfasan" es decir no concuerdan en sus picos y valles. Estos circuitos, son posibles de representar y por ende analizarlos, mediante números imaginarios, resolviendo de esta manera cualquier problema técnico.En la ingeniería de telecomunicaciones también se utilizan mucho para estudiar las ondas y sus respectivas frecuencias de transmisión.Los números complejos son usados también en los modelamientos matemáticos de procesos físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales electrónicas.Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha, amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión eléctrica, centrales hidroeléctricas.